In Vienna:
Krankenhaus der Barmherzigen Brüder
Johannes-von-Gott-Platz 1
1020 Vienna
Tel: +43 1 21121 0
http://www.barmherzige-brueder.at/
AMBER-MED
Oberlaaer Straße 300-306
230 Vienna
https://amber-med.at/ich-brauche-hilfe/ (scroll down for other languages)
NeunerHaus
Margaretenstraße 166
1050 Vienna
Tel.: +43 1 990 09 09 500
https://www.neunerhaus.at/hilfe/gesundheit/
Diakonie Flüchtlingsdienst
Medical counselling especially for women:
Nobilegasse 25
1150 Vienna
Tel.: +43 664 88984969
https://fluechtlingsdienst.diakonie.at/einrichtung/sozmed-beratung
Overview medical and psychotherapeutical offerings in several Austrian cities:
https://fluechtlingsdienst.diakonie.at/einrichtungen? taetigkeit=94&angebot=All&bundesland=All
In Linz:
MAIZ (they are not a hospital but they can tell you where to go)
Scharitzerstraße 6-8 / 1st floor 4020 Linz
Tel.: +43 732 776070
http://maiz.at
In Graz:
Marienambulanz
Kleiststraße 73
8020 Graz
Tel. +43 316 8015 351
https://www.caritas-steiermark.at/marienambulanz